關于線性空間定義的一點注記

為了在使用上方便，對某些概念進行定義時，總會給上更多的限制條件。這樣一來，在驗證某些概念時就需要驗證更多條件，這顯然不是我們想要的。但通過下文的證明，這多余的條件其實更加方便使用。本文討論的是，線性空間八大公理與七大公理等價的問題。目的就是為了說明上面的事實，引導學生學會讀書。
在郭聿琦等主編的《線性代數帶引》，或者說任何一本代數學教材，在定義線性空間時均采用了如下的八大公理：
但是筆者在學習過程中發現，從本質上講，八大公理只需七大公理即可，第一公理可由后七公理導出。本文正是為證明此命題的。
首先證明兩個事實：
事實一、
事實二、
說明：為了避免在命題證明過程中出現循環引用的情況，下面的推導過程前后步驟間均給出直接引用的事實，用記號表示這一原則，其中的表示利用公理（2）可由得到。
證明：
（事實一）

綜上事實一即得證.

（事實二）

基于上面兩個事實，下面證明下面的命題：
命題：線性空間中八大公理（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）與七大公理（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）等價。
可以看出，兩大公理體系僅有一個公理的差別，因此為證明此命題只需要公理（1）可以由其余七大公理導出即可。
證明：必要性是顯然成立的；
充分性
只需證明（1）可由（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）推出即可。

綜上全部，命題即得以證明。
可以看出，上面兩個定義的等價性是毋庸質疑的；并且可以看出，在證明的過程中只是反復的引用公理事實。這就啟示我們在定義概念時，多加條件其實沒有影響，相反還會簡化我們驗證的過程，否則每次都要重復上面的過程去驗證交換律，這就是公理化體系的優點。
這個命題是由我的恩師王正攀轉述給我們的，他得之于郭聿琦教授。
參考文獻
[1]郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數導引[M].北京：科學出版社，2001.