關于雞蛋的數學趣味智力題與答案

時間：2017-08-17 16:13:04 粉燕710由分享

　　為了能幫助廣大小學生朋友們提高數學成績和數學思維能力，學習啦小編特地為大家找了一道關于雞蛋的數學趣味智力題做了詳細分析，希望能夠切實的幫到大家。

　　關于雞蛋的數學趣味智力題

　　一個少年用小車推著一籃雞蛋去賣。在路上，一輛手扶拖拉機撞了小車一下，籃子掉在地上，所有的雞蛋全打碎了。司機想賠給他錢，問他總共有多少雞蛋。“我不知道。”少年說，“只記得我一對一對地移放時，最后剩一個。當我接三個、四個、五個、六個移放雞蛋時，也都是剩一個。當我按七個移放時，就一個也不剩了。

　　請你算算，有多少雞蛋?”

　　關于雞蛋的數學趣味智力題解析

　　司機想，這是要求出一個數：它能被七整除，而用二、三、四、五、六來除時，都有余數一。能被二、三、四、五、六整除的最小的數，就是這些數的最小公倍數，是六十。也就是要求的這個數是：能被七整除，又比六十的倍數多一的數。這個數可以用逐次嘗試法求得：60÷7=8，余4;

　　2×60÷7=17，余1;

　　3×60÷7=25，余5;

　　4×60÷7=34，余2;

　　5×60÷7=42，余6。

　　5×60+1÷7=43。

　　啊，少年的籃子里最少有5×60+1=301(個)。想一想，司機的算法為什么是對的。

　　兩個少年在市場上賣大蘋果，一個要兩個賣五角，另一個要三個賣一元。他們的籃子里各有三十個蘋果，第一個少年可以賣七元五角，第二個少年可以賣十元。為了表示友好和便于買賣，他們商定：把兩個人的蘋果合起來賣，不挑不選，一元五角五個。賣完后，他們驚奇地發現：賣了十八元，比原來能賣的錢多出五角。沒差沒錯，怎么多出了五角?這錢應該歸誰得呢?當兩個少年在算賬，想搞清楚這是怎么回事的時候，被另外兩個賣蘋果的少年聽到了。他們覺得，兩個人合起來賣，可以多賺錢，決定也照這個辦法來賣。

　　這兩個少年也各有三十個蘋果，一個要兩個賣一元，能賣十五元，另一個要三個賣一元，能賣十元，一共能賣二十五元。可是，接五個二元錢賣完后，他們也驚奇地發現：總共只賣二十四元，比兩人分開賣少了一元。

　　用同樣的辦法，結果卻是一個多賣了五角，一個少賣了一元，這真是奇怪了。實際上，當兩個少年把蘋果合在一起賣的時候，已經不是按照各自定的價格了。要是他們考慮到這一點，就不會感到驚奇了。好，現在以后兩個少年的賣法為例，來看看他們是怎樣少賣了一元錢的：

　　要是他們各自單獨賣蘋果，第一個少年要兩個蘋賣一元，就是一個蘋果賣元;另一個少年是三個蘋果賣一元，就是一個蘋果賣元。當他們把蘋果合在一起，并且按每五個蘋果二元賣的時候，每一個蘋果的價格就變成了元。這就是說，第一個少年的全部蘋果不是按元一個賣的，而是按元賣的，每個蘋果少了元(-=)，一共有三十個蘋果，共少賣了三元錢。另一個少年的蘋果也不是按元一個賣的，同樣是按元一個賣的，每個蘋果就多賣了元()，一共是三十個蘋果，共多賣了二元。兩相似消，當然比各自單獨賣少了一元了。

　　現在，為什么前面兩個少年多賣了五角，也就好明白了。

　　通過這種方法解答數學智力題，是不是很好理解呢?

　　關于雞蛋的數學趣味智力題：數雞蛋

　　一位老太太挎了一筐雞蛋到市場去賣。路上被一名騎車的人撞倒，雞蛋全部打破了。騎車人攙起老太太說:“你帶了多少雞蛋?我賠你。”老太太說:“總數我也不知道，當初我們從雞窩里揀雞蛋時是五個五個揀的，最后又多揀了一個;昨天我老頭子查了一遍，他是四個一數的，最后也是多一個;今早我又數了一遍，是三個一數的，也是多一個。”騎車人在心里算了一下，按市場價賠了雞蛋錢。老太太一共帶了多少雞蛋?

　　看答案

　　把這個問題轉化成數學題就是:有一個數，無論用3、4、5去除，結果都余1，求這個數。換個說法:有一個數，減去1就能同時被3、4、5整除。顯然，任何3、4、5的公倍數加1都是這個問題的解，最小的解是61，往下是121、181等等。問題中挎筐的是一位老太太，因此雞蛋不可能很多，故可認為是61個。

　　關于雞蛋的數學趣味智力題：扔雞蛋

　　只給你二個雞蛋，你能上100層樓，你想知道雞蛋的硬度。雞蛋可能很硬或很脆弱，如果雞蛋從第m層掉下而沒破裂，而從第m+1層掉下就破裂了，那么這個雞蛋的硬度就是m。你需要找出這個m和在最壞情況下最少試驗次數。(經典雞蛋問題)

　　A: 計算機學生可能會首先用第一個雞蛋做二分搜索(O(logN))再用第二個遞增做線性搜索(O(N))，最后必將用線性搜索結束因為用第二個雞蛋時你無法確定最高一層。因此，問題變為如何使用第一個雞蛋來減少線性搜索。

　　于是如果第一個蛋破裂在最高點我們要扔x-1次并且我們必須從x層高扔第一個蛋?，F在如果第一個蛋的第一次扔沒有破裂，如果第一個蛋在第二次扔破了我們要扔x-2次第二個蛋。假如16是答案，我需要扔16次才能找到答案。來驗證一下是否可以從16層開始扔，首先從16層扔如果它破裂了，我們嘗試所有其下的樓層從1到15;如果沒破我們還能扔15次，于是我們將從32層(16+15+1)再扔。原因是如果它在32層破裂我們能嘗試其下所有樓層從17到31最壞扔第二個蛋14次(總共能扔16次了)。如果32層并沒破，我們還剩下能扔13次，依此類推得:

　　1 + 15 16 如果它在16層破裂，從1到15層最壞扔15次第二個蛋

　　1 + 14 31 如果它在31層破裂，從17到30層最壞扔14次第二個蛋

　　1 + 13 45.....

　　1 + 12 58

　　1 + 11 70

　　1 + 10 81

　　1 + 9 91

　　1 + 8 100 在最后我們能輕易地做到因為我們有足夠多扔的次數來完成任務

　　從上表我們能看到最佳的一個在最后一步將需要0次線性搜索。

　　能把上述規律寫為: (1+p) + (1+(p-1))+ (1+(p-2)) + .........+ (1+0) >= 100.

　　令1+p=q上述式子變為q(q+1)/2>=100,對100解答得到q=14。

　　扔第一個蛋從層14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100直到它破裂，再開始扔第二個蛋。最壞情況只需14次。

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　　在只有一個雞蛋時，保險起見，我們只能從一樓開始，一層一層地試驗，看看雞蛋有沒有被摔爛。這樣最精確，但是消耗的時間也最久。如果我們事先就知道這個雞蛋不被摔碎的最高落下點在30層到75層之間，我們最多也只要嘗試45次就能知道結果。現在我們手上有兩個雞蛋，根據上面的分析，一個合理的策略就是用第一個雞蛋確定出一個較小的樓層范圍，然后在這個范圍里用第二個雞蛋從下往上逐層嘗試。

　　比如說讓第一個雞蛋每隔5層試驗一次。當它在某一層被摔爛時，也就意味著確定了一個4層的待測試寬度(為什么是4層呢?假如雞蛋在5樓的時候沒破，10樓的時候破了，那么我們就只需要知道雞蛋在 6 , 7 , 8 , 9 層的結果)。這時候，用第二顆雞蛋一層一層地嘗試，就能用較少的次數找出雞蛋剛好摔不爛的高度。

　　需要注意的是，如果想留給第二顆雞蛋較小的測試寬度，就要縮短第一個雞蛋的測試跨度。相應的，也就增加了嘗試次數。為了確定合適的跨度，使得總試驗次數之和盡可能小，我們可以采取如下的辦法。

　　設跨度是L，第一顆雞蛋的嘗試次數就是[ 100/L ]，第二顆雞蛋的嘗試次數就是 L - 1，因此嘗試次數總和就是 [ 100/L ] + L - 1 。根據這個公式，我們可以列出下面這個表 :

　　可以看出，我們只需要選 8 - 13 之間的一個寬度，都能使得總嘗試次數是19次。

　　但問題是，這已經是最優策略了嗎，有沒有更好的方法呢?

　　有的。上面的方法固定了第一顆雞蛋的測試跨度，如果我們靈活變動，就能使得總嘗試次數變得更少。首先，我們選擇從14樓丟下第一顆雞蛋。如果它破碎了，我們就從1樓開始，逐層丟第二顆雞蛋，最多試14次便能得到答案。如果它沒有破碎，那我們往上走 13 層，在 27 樓第二次丟下第一顆雞蛋。此時如果雞蛋碎了，那我們只需要在 15 層到 26 層之間用第二顆雞蛋進行最多12次試驗即可，加上第一顆雞蛋的兩次嘗試，仍然是14次。類的，依次減小測試跨度，如果雞蛋足夠頑強，那我們丟下第一顆雞蛋的樓層就分別是 14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 以及最后的100層。因為第一顆雞蛋每多嘗試一次，第二顆雞蛋需要嘗試的最大次數就減少一次，因此，總嘗試次數的最大可能一直是不變的，保持在14次。用這種方法，我們只需要不超過14次的嘗試就能夠找出答案。有沒有更優的策略了?感興趣的讀者可以自行思考。