高三數學教案(復數和數列)

時間：2022-10-18 14:07:39 淑娟0由分享

數學不可比擬的永久性和萬能性及他對時間和文化背景的獨立行是其本質的直接后果。今天小編在這給大家整理了高三數學教案大全，接下來隨著小編一起來看看吧!

高三數學教案(一)

一、教學內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》(人教版)第二章數列第二節等差數列第一課時。

數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。

二、學生學習情況分析

教學內容針對的是高二的學生，經過高中一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發，使學生產生學習的興趣，注重引導、啟發學生的積極主動的去學習數學，從而促進思維能力的進一步提高。

三、設計思想

1.教法

⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。 2.學法

引導學生首先從四個現實問題(數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。

在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

四、教學目標

通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題;并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力。

五、教學重點與難點

重點：

①等差數列的概念。

②等差數列的通項公式的推導過程及應用。難點：

①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。 ②理解等差數列是一種函數模型。關鍵：

等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。

六、教學過程(略)

高三數學教案(二)

一、教學內容解析

一元二次不等式的解法是高中數學最重要的內容之一，在高中數學中起著廣泛的應用工具作用，蘊藏著重要的數形結合思想，是代數、三角、解析幾何交匯綜合的部分，在高中數學中具有舉足輕重的地位。

教科書中對一元二次不等式的解法，沒有介紹較繁瑣的純代數方法，而是采取簡潔明了的數形結合的方法，從具體到抽象，從特殊到一般，用二次函數的圖象來研究一元二次不等式的解法。教學中，利用幾何畫板的動態演示功能，引導學生結合二次函數的圖象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函數“三個二次”間的聯系，歸納總結出一元二次不等式的求解過程。通過對一元二次不等式解集的探究過程，滲透函數與方程、數形結合、分類討論等重要的數學思想。

一元二次不等式的解法是程序性較強的內容，探究中應注意對“特例”的處理，讓學生注意對“特殊情況”的處理，才能讓學習的內容更加完整。

因此，本節課教學的重點是圍繞一元二次不等式的解法，通過圖象了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，突出體現數形結合的思想。

二、教學目標解析

1. 通過對一元二次不等式解法的探究，讓學生了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系。

2. 掌握一元二次不等式的求解步驟，尤其是對“特例”的處理。

3. 通過圖象解法滲透數形結合、分類化歸等重要的數學思想，培養學生動手能力，觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結等系統的邏輯思維能力，培養學生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質。

三、學生學情分析

學生已有的認知基礎是，學生已經學習了二次函數、一元二次方程、函數的零點等有關知識，為本節課的學習打下了基礎。

學生根據具體的二次函數的圖象得對應一元二次不等式的解集時問題不大，學生可能存在的困難：(1)二次函數是初中學習的難點，許多學生對二次函數的知識掌握欠缺，對本節課的順利開展有一定的影響;(2)從特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，學生全面考慮不同情況下的解集有一定的困難。教學中，(1)教師可提前讓學生復習二次函數的有關知識點，為本節課的學習掃清障礙。(2)利用幾何畫板的動態演示功能，通過變換二次函數圖象，引導學生在變化中尋找不變的規律，從而得出影響一元二次不等式解集的因素，確定分類的標準，全面考慮一元二次不等式解的情況。

因此，本節課教學的難點是探究一元二次不等式的解集。

四、教學策略分析

依據本節課的教學內容，采用啟發引導式教學。教學中啟發學生一元二次不等式的解法可以類比“一元一次不等式與一次函數、一元一次方程三者間的關系”，利用二次函數的圖象進行求解。從特殊到一般，從具體到抽象，通過幾何畫板的動態演示，引導學生觀察、猜想、主動發現一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，得出一元二次不等式的求解步驟。教學中讓學生通過動手實踐、自主探索、合作學習完成學習過程，從動態中觀察、探索歸納知識。

為了有效實現教學目標，教學中通過幾何畫板動態演示函數圖象上的點在移動時，隨著橫坐標的變化，縱坐標的取值變化情況，更直觀地向學生展示或時對應的的取值范圍。利用圖象的直觀性，觀察二次函數圖象的變化對一元二次不等式解集的影響，恰當確定分類的標準，有效解決教學中的難點。

五、教學過程設計

新課導入：剛才我們回顧了初中學過的一元一次方程、一元一次不等式、一次函數三者間的聯系，利用這種聯系可以快速準確地求出一元一次不等式的解集。那么對于一元二次不等式能否用類似的方法求解?我們以上網計時收費問題中得到的一元二次不等式為例進行探究。

問題一：如何求一元二次不等式的解集?

設計意圖：通過具體的例子，觀察三個二次的關系，直觀理解一元二次不等式的求法，由特殊到一般。

引導一：畫出二次函數的草圖。

引導二：觀察一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數三者間有何聯系?

引導三：要寫出一元二次不等式的解集，需要確定哪些量?

師生活動：教師引導學生思考三個二次的關系，首先畫出函數的圖象。讓學生通過觀察圖象，發現“一元二次方程的兩個根是對應二次函數的零點”的結論，一元二次不等式的解即是二次函數的圖象上函數值時對應的的取值。利用幾何畫板的動態演示功能，在函數的圖象上任取一點，觀察當點在拋物線上移動時，隨著的橫坐標的變化，的縱坐標有什么變化，借用動態演示幫助看圖有困難的同學。

問題二：探究一元二次不等式的解集。

設計意圖：進一步加深學生對“三個二次”間關系的理解，通過二次函數圖象的動態變化，尋找出恰當的分類標準，寫出二次不等式的解集，從具體到抽象。

引導一：要得到一個一元二次不等式的解集，關鍵應考慮哪些因素?

師生活動：教師利用幾何畫板的動態演示功能，改變二次函數中的常數的值，讓學生觀察隨著函數圖象的變化，不等式的解的變化情況，在變化中尋找不變的規律，從而得出確定一元二次不等式解集的兩個因素：(1)對應的一元二次方程的根的情況;(2)對應的二次函數的開口方向。

引導二：應如何分類討論一元二次不等式的解集?

師生活動：在引導、分析的基礎上，由學生歸納得出分類的兩個標準：(1)分和 ;(2)分，，。并讓學生完成課本77頁的表，寫出時一元二次方程根和一元二次不等式的解集。

高三數學教案(三)

教學目標

（1）掌握向量的有關概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復數集、復平面內的點的集合、復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系；

（3）掌握復數的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學習，培養學生的數形結合的數學思想；

（5）通過本節內容的學習，培養學生的觀察能力、分析能力，幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法

教學建議

一、知識結構

本節內容首先從物理中所遇到的一些矢量出發引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復數集與復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系，指出了復數的模的定義及其計算公式

二、重點、難點分析

本節的重點是復數與復平面的向量的一一對應關系的理解；難點是復數模的概念復數可以用向量表示，二者的對應關系為什么只能說復數集與以原點為起點的向量的集合一一對應關系，而不能說與復平面內的向量一一對應，對這一點的理解要加以重視在復數向量的表示中，從復數集與復平面內的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關系是本節教學的難點復數模的概念是一個難點，首先要理解復數的絕對值與實數絕對值定義的一致性質，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復平面上的點到原點的距離

三、教學建議

1在學習新課之前一定要復習舊知識，包括實數的絕對值及幾何意義，復數的有關概念、現行高中物理課本中的有關矢量知識等，特別是對于基礎較差的學生，這一環節不可忽視

2理解并掌握復數集、復平面內的點集、復平面內以原點為起點的向量集合三者之間的關系

如圖所示，建立復平面以后，復數與復平面內的點形成—一對應關系，而點又與復平面的向量構成—一對應關系因此，復數集與復平面的以為起點，以為終點的向量集形成—一對應關系因此，我們常把復數說成點Z或說成向量點、向量是復數的另外兩種表示形式，它們都是復數的幾何表示

相等的向量對應的是同一個復數，復平面內與向量相等的向量有無窮多個，所以復數集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關系復數集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構成—一對應關系

這種對應關系的建立，為我們用解析幾何方法解決復數問題，或用復數方法解決幾何問題創造了條件

3向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度它的計算公式是，當實部為零時，根據上面復數的模的公式與以前關于實數絕對值及算術平方根的規定一致這些內容必須使學生在理解的基礎上牢固地掌握

4講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時如果結合提問的圖形，可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應畫成虛線

5講解復數的模講復數的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關知識聯系，結合復數與復平面內以原點為起點，以復數所對應的點為終點的向量之間的一一對應關系，使學生在理解的基礎上記憶。向量的模，又叫做向量的絕對值，也就是有向線段OZ的長度它也叫做復數的模或絕對值它的計算公式是

高三數學教案(四)

教學目標

（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

（4）通過學平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；

（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

三、教學建議

（1）在中，重點是加法教材首先規定了復數的加法法則對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則

（2）復數加法的向量運算講解設，畫出向量，后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量），畫出向量后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）

（3）向學生介紹復數加法的三角形法則講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求與的和，可以看作是求與的和這時先畫出第一個向量，再以的終點為起點畫出第二個向量，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量，就是這兩個向量的和向量

（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當與在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便

（5）講解了教材例2后，應強調（注意：這里是起點，是終點）就是同復數－對應的向量點，之間的距離就是向量的模，也就是復數－的模，即

例如，起點對應復數－1、終點對應復數的那個向量（如圖），可用來表示因而點與（）點間的距離就是復數的模，它等于。

教學設計示例

復數的減法及其幾何意義

教學目標

1理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義

2滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力

3培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）

教學重點和難點

重點：復數減法法則

難點：對復數減法幾何意義理解和應用

教學過程設計

（一）引入新課

上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義（板書課題：復數減法及其幾何意義）

（二）復數減法

復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

1復數減法法則

（1）規定：復數減法是加法逆運算；

（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（，，， ∈R）

把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i

推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算

推導：設（ + i）-（ + i）= + i（， ∈R）即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得

故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i這樣推導每一步都有合理依據

我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數是確定的復數

復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i

（三）復數減法幾何意義

我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？

設z= + i（， ∈R），z1= + i（， ∈R），對應向量分別為，如圖

由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖

在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？

還有因為OZ2 Z1Z，所以向量，也與z-z1差對應向量是以Z1為起點，Z為終點的向量

能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應

（四）應用舉例

在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）

例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式

解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|

例3 在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模

幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線

（2）|z+i|+|z-i|=4；

方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡滿足方程的動點軌跡是橢圓

（3）|z+2|-|z-2|=1

這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線是雙曲線右支

由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程使有些曲線方程形式變得更為簡捷且反映曲線的本質特征

例4 設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應求

（1）復平面內圓的方程；

解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r

（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程不等式等問題

（五）小結

我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題

（六）布置作業 P193習題二十七：2，3，8，9

探究活動

復數等式的幾何意義

復數等式在復平面上表示以為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

分析與解

1 復數等式在復平面上表示線段的中垂線。

2 復數等式在復平面上表示一個橢圓。

3 復數等式在復平面上表示一條線段。

4 復數等式在復平面上表示雙曲線的一支。

5 復數等式在復平面上表示原點為O、構成一個矩形。

說明復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之

間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數知識的掌握。

高三數學教案(五)

教學目標

（1）掌握復數乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

（2）能應用i和的周期性、共軛復數性質、模的性質熟練地進行解題；

（3）讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法；

（4）通過學習復數乘法與除法的運算法則，培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節的重點和難點是復數乘除法運算法則及復數的有關性質復數的代數形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并很明顯，兩個復數的積仍然是一個復數，即在復數集內，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律規定復數的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復數相除時，要使分母實數化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數，使分母變成實數

三、教學建議

1在學習復數的代數形式相乘時，復數的乘法法則規定按照如下法則進行設是任意兩個復數，那么它們的積：

也就是說復數的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式

2復數的乘法不僅滿足交換律與結合律，實數集R中整數指數冪的運算律，在復數集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

，，；

對于復數只有在整數指數冪的范圍內才能成立由于我們尚未對復數的分數指數冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數指數冪內運用，就會得到荒謬的結果。如，若由，就會得到的錯誤結論，對此一定要重視。

3講解復數的除法，可以按照教材規定它是乘法的逆運算，即求一個復數，使它滿足（這里，是已知的復數）列出上式后，由乘法法則及兩個復數相等的條件得：

由此

于是

得出商以后，還應當著重向學生指出：如果根據除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的分析一下商的結構，從形式上可以得出兩個復數相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡即可

4這道例題的目的之一是訓練我們對于復數乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果，我們應該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數根。然后再回顧例2的解題過程，發現其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數根。所以-1在復數集C內至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習題的反思過程，看起來并不難，但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。

5教材194頁第6題這是關于復數模的一個重要不等式，在研究復數模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

教學設計示例

復數的乘法

教學目標

1掌握復數的代數形式的乘法運算法則，能熟練地進行復數代數形式的乘法運算；

2理解復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律；

3知道復數的乘法是同復數的積，理解復數集C中正整數冪的運算律，掌握i的乘法運算性質

教學重點難點

復數乘法運算法則及復數的有關性質

難點是復數乘法運算律的理解

教學過程設計

1 引入新課