論概念教學中例題設計的常見誤區和策略

　　自新課程改革以來,概念教學受到越來越多的關注和重視.以強調讓學生經歷概念的形成過程為代表的概念教學模式不斷地出現在各種各類教學研討活動中.在一些觀摩課、研討課中發現,概念形成環節往往是教師設計教學的主陣地,也常有獨到的見解.但是,筆者也發現不少教師對概念教學中的例題設計經常未能引起足夠多的重視、投入應有的精力,而是認為概念教學中的例題比較簡單,有些只是照本宣科,忽視了例題的典型示范作用,有些布置學生自學,完全沒能挖掘例題中蘊含的數學思想、方法,有些則不切實際,盲目拔高,脫離了概念的核心,其結果自然是事倍功半.下面筆者結合自己的實踐、學習和反思,就當前的概念教學中例題設計的幾種常見誤區以及對策做幾點思考,望能與同行們共同交流、學習.

　　一、當前概念教學中例題設計的幾種常見誤區

　　1.重出新拔高,輕教材例題

　　教材中提供的例題,都是專家們經過深思熟慮后精心設計的,不僅具有典型性、示范性、科學性、指導性等特點,而且符合學生的認知規律、循序漸進,是教師實施教學的“參考藍本”與“精品資料”.但教學實踐中,我們不難發現,不少教師并不愿意采用教材中的例題,卻找一些自認為的“好題”,不切實際,盲目拔高,結果適得其反.如:

　　案例1 在2011年4月的一次溫州市名師工作室活動中,A教師在“組合”第一課時教學中,拋開了教材中的例題,設計如下例題:

　　例1 從全班50名同學的數學作業本中,抽選出4本檢查,共有多少種不同的選法?

　　變式 全班50名同學的數學作業本混和在一起,然后每個人從中隨意拿一本,正好有48人拿到自己的作業本,有多少種可能?

　　追問 正好有47人拿到自己的作業本呢?

　　例2 在圖1所示的圖形中,你能找出多少個長方形?

　　變式 在圖2所示的圖形中,你能找出多少個長方形?

　　這兩個例題中,例1的變式與追問對剛剛接觸計數原理及排列、組合知識的學生來說,顯然思維跨度太大,無形中也沖淡了這節課概念的核心;而例2的設計是組合知識的靈活應用,對學生知識遷移能力要求過高,也不能很好的起到精致概念的作用.

　　2.重變式訓練,輕概念核心

　　“變式”是目前例習題呈現的主要方式,它通過變更概念中的非本質特征,變換問題中的條件或結論,轉化問題的形式或內容,可以幫助學生理解概念的本質屬性,便于概念的應用.從心理學上講,它是克服思維定勢中消極因素的重要措施,對培養學生良好的思維品質也有積極意義.但在教學實踐中,不少教師往往只注重呈現形式的變式,忽視了“變式”應圍繞概念的核心展開,“變式”是應力爭提示出概念的本質.如:

　　案例2 在2011年4月的一次溫州市名師工作室活動中,B教師在“組合”第一課時教學中,設計了以下變式例題:

　　例題 平面內有10個點,以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?

　　變式1 圓上有10點,過每2點畫一條弦,一共可以畫多少條弦?

　　變式2 圓上有10點,每3點畫一個圓內接三角形,一共可以畫多少個圓內接三角形?

　　變式3 凸十邊形有多少條對角線?

　　變式4 凸n(n>3)邊形有多少條對角線?

　　變式5 平面內有10個點,其中4個點在一條直線上,此外無3點共線.

　　①這10個點可連成多少條直線?

　　②由這10個點中的三個點為頂點,可確定多少個三角形?

　　該組變式例題有豐富的情境與背景,也緊扣“組合”的特征——與元素順序無關,但作為概念“精致”過程中的例題,只在應用環境上進行變式,沒有能夠通過例題揭示出“從n個不同的元素中取出k個元素的組合”的本質就是“n個不同元素組成的集合的一個k元子集”,可謂是精彩中留有遺憾.

　　3.重解題技巧,輕數學思想

　　例題是把知識(概念)、技能、方法和思想聯系起來的紐帶.在概念教學中它不僅有有助于進一步理解概念的內涵與處延的作用,還擔負著把知識轉化為能力的重要使命.但在例題選擇上常見的誤區是:與當前內容脫節,題目太難,太技巧化.不重視數學思想.如:

　　案例3 在我校的一次教學研討課中,某教師在“直線的傾斜角和斜率”一課中,設計了這樣的例題變式:

　　變式 直線的斜率為k,傾斜角為α,若-1<k<1,求α的取值范圍.

　　練習1 已知直線的傾斜角為α,若sin α=,求此直線的斜率.

　　練習2 已知直線y=xsinθ-1,求該直線傾斜角的范圍.

　　不難發現這個例題和練習設計偏難,太過技巧化,考查的是三角函數正切的圖象和性質,與本節課內容脫節,沒有把握住本節課的概念的核心思想與本質(坐標化),使得本節課的核心概念被邊緣化,容易給學生一種錯覺:數學的學習就是解題技巧的學習.

　　二、概念教學中例題設計的對策與原則

　　1.例題設計要重視教材開發

　　教材是眾多數學家、數學教育家集體智慧的結晶,具有很強的權威性和指導性,但教材中的概念、公式、定理等多數都是以具有較強的抽象性、概括性的“學術形態”知識呈現出來,在教學中我們須鉆研透教材,吃透教材中的概念、公式、定理等,并將其轉化為易于學生理解的“教育形態”知識,挖掘、開發出其潛在教學功能.如:

　　案例4 江欣懌老師在教授“拋物線”一課時,對課本例題進行了二次開發,設計了以下例題,并收到了良好的教學效果:

　　題1 在一個平面內,點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+4=0的距離小2,求點P的軌跡方程.

　　學生根據拋物線的定義,利用直線移動的方法,可以快速得到軌跡方程為:

　　=8x(x≥0).

　　題2 在一個平面內,點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+1=0的距離大1,求點P的軌跡方程.

　　同上,可以得到軌跡方程為:

　　=8x(x≥0).

　　題3 在一個平面內,點P與點F(2,0)的距離比它到y軸的距離大2,求點P的軌跡方程。

　　部分學生由于思維定勢,馬上想到利用拋物線定義得出結論:

　　=8x(x≥0).

　　顯然從圖象上可以看出,x軸負半軸上的所有點也是滿足條件的.所以方程有兩個:

　　=8x(x≥0)和y=0(x<0).

　　其實由求軌跡的一般方法,列式

　　追問 題1與題2為何只一個方程?是否漏解呢?

　　題4 在一個平面內,點P與點F(2,0)的距離比它到直線x-1=0的距離大3,求點P的軌跡方程.

　　此題利用列式計算求出軌跡方程:=8x(x≥1)和=-4(x-3)(x<1)已經沒有困難;在利用幾何方法的過程中,移動直線的關鍵是為了讓動點到直線的距離與到定點的距離相等,除了考慮將直線x-1=0左移三個單位,將直線右移三個單位也有軌跡是滿足條件的,軌跡圖象如圖3,為兩部分拋物線疊加的軌跡.

　　從課堂效果上來看,此例題的設計激發了學生極大的學習熱情.通過自主探究,學生不僅對拋物線的定義有了更深刻的理解,并且對“數缺形時少直觀、形缺數時難入微”的數形結合思想有了深刻認識,加強了學生以形助數,以數想形的意識.

　　2.例題設計要注重循序漸進

　　一道例題能否激發學生的興趣,讓學生積極的參與,首先取決于提出的問題能否引起學生的認識沖突、能否引起學生思想上的共鳴.每一個問題都應建立在學生已有的認識基礎上,并為他們留出思考的余地.俗話說:溫故而知新.學過的知識需要不斷地加以應用和鞏固,學習新知識時更要注意與舊知識進行呼應和比較.如:

　　案例5 在學習了“幾何概型”概念及計算公式之后,為了突出古典概型與幾何概型的比較與選擇,可以設計如下例題:

　　題1 已知x,y∈[0,6]且x,y∈N.求事件“x-y≥3”的概率.

　　題2 已知x,y∈[0,6]且x,y∈R,求事件“x-y≥3”的概率.

　　此例題的設計重在突出新舊知識之間的聯系與差別,前后呼應、循序漸進,突出了從古典概型到幾何概型,是從有限到無限的延伸,原來枯燥的講解說教被題目中這一字改動,盡在不言中了.

　　3.例題設計要聚焦概念核心

　　例題的設計要有助于概念理解,有助于概念應用,應把設計的著力點聚集在概念的核心上.通過例題的解決,達到幫助學生理解概念的本質目的.如:

　　案例6 講完函數概念后可以選擇這樣的例題來幫助學生深化概念:

　　題1 表1中的數據是同學們在做水龍頭驗時收集的.量杯的最大容量是100毫升.

　　(1)如果繼續試驗,多少秒后量杯里的水會滿而溢出?

　　(2)這是一次函數嗎?請解釋.

　　題2 小張和小李一起做水龍頭漏水實驗.他們每人將收集的數據描在了直角坐標系中,如圖4所示,是什么原因導致了他們所畫的圖象不同?如圖5,關于水龍頭漏水實驗數據的圖象,該圖象說明了什么?

　　這樣的例題,函數味道很濃,“變量”“一個量隨著一個量的變化而變化”“對應關系”“變化規律”等,都得到了充分體現.問題聚焦于概念的理解和應用,只要理解了概念就能回答,而不是給學生設置“陷阱”,在與函數概念沒有太大關系的問題上制造麻煩.這類例題更有助于學生理解概念的本質,能讓學生感受數學的作用,對能力的培養也更全面.

　　4.例題設計要滲透思想方法

　　例題設計要使得學生能從看似平淡的文字描述、符號推演中挖掘其內涵.領悟出其深刻的數學思想,如果只是把例題看成解題技能的示范,那么教學必然缺乏“數學味”.如:

　　案例7 在學習了“等差數列及其前n和公式”后,教材(人教版必修5第44頁)設計了:

　　教材通過進行求解,并沒有對例題中蘊涵的數學思想方法用文字直接加以闡述.但我們能從這樣的例題設計中發現,教材的設計意圖在于引導學生用函數的思想來研究數列,即從數形結合的觀點出發,利用數學分類討論的思想對進行分類得到的表達式,可以是常數(由0組成的數列),可以是n的正比例函數(如由非零常數組成的數列),可以是關于n的二次函數(圖象經過原點),從而使學生發現知識間的內在聯系,學會用聯系的觀點來學習數學.這種以思想方法為主線來串聯、設計例題,即能真正發揮例題的功能與價值.我們應該充分認識例題在概念學習中的功能與價值,把握概念教學中例題設計的關鍵與原則,在深刻理解數學概念的基礎上做到深入淺出