建模的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)模型

　　數(shù)學(xué)模型可以描述為，對現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。今天我們講講數(shù)學(xué)模型的相關(guān)概念。

　　數(shù)學(xué)的重要性

　　學(xué)了這么多年的書，感覺最有用的就是數(shù)學(xué)課了，相信還是有很多人和我一樣的想法的。 大家回想一下：有什么課自始至終都用到?我想了一下只有數(shù)學(xué)了，當(dāng)然還有英語。特別到了大學(xué)，學(xué)信號處理和通信方面的課時，更是感到了數(shù)學(xué)課的重要性。計算機(jī)：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，編程算法....哪個不需要數(shù)學(xué)知識和思想。有這樣的說法，數(shù)學(xué)系的人學(xué)計算機(jī)才是最牛的。信號與系統(tǒng)：這個變換那個變換的。通信：此編碼彼編碼的。數(shù)字圖像與模式識別：這個概率論和數(shù)理統(tǒng)計到處都是。線性代數(shù)和矩陣論也是經(jīng)常出現(xiàn)。

　　數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

　　最重要的是遇到問題首先不畏懼，然后知道類似的問題別人是如何處理，我們是否可以借鑒，然后再比較我們的問題和已有的問題有何異同，已有的方法有什么不足，我們應(yīng)從哪里著手考慮新方法。思考路線比具體推導(dǎo)更重要。數(shù)學(xué)并非說得越玄乎越顯水平。真正的理解在于抓住實質(zhì)，"如果你還覺得某個東西很難、很繁、很難記住，說明你還沉迷于細(xì)節(jié)，沒有抓住實質(zhì)，抓住了實質(zhì)，一切都是簡單的。"這是概率之父Kolmogorov的名言。我們平時在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也時刻問自己，能不能向一個外行講清楚這是怎么回事，如果不能，說明我們自己還沒有真正理解。數(shù)學(xué)推導(dǎo)的功夫應(yīng)該是在課下通過大量的練習(xí)得到的，在課下花的時間要遠(yuǎn)大于課上的時間。

　　什么是數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

　　簡單地說：數(shù)學(xué)模型就是對實際問題的一種數(shù)學(xué)表述。 具體一點說：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

　　更確切地說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。

　　數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程(見數(shù)學(xué)建模過程流程圖)。

　　數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

　　數(shù)學(xué)建模的方法

　　一、機(jī)理分析法:

　　從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。

　　1. 比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。

　　2. 代數(shù)方法--求解離散問題(離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形)的主要方法。

　　3. 邏輯方法--是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實際問題，在決策，對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。

　　4. 常微分方程--解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立"瞬時變化率"的表達(dá)式。

　　5. 偏微分方程--解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。

　　二、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學(xué)模型。

　　1. 回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi, fi)i=1,2… n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。

　　2. 時序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。

　　3. 回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,

　　fi)i=1,2…n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。

　　4. 時序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。

　　三、仿真和其他方法

　　1. 計算機(jī)仿真(模擬)--實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。① 離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量。 ②

　　連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

　　2. 因子試驗法--在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。

　　3. 人工現(xiàn)實法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。