非線性是什么意思與線性的區別是什么(2)

時間：2016-08-31 12:04:58 謝君787由分享

　　(2) 非線性的物理機制

　　相對于非線性的數學表達而言，它的物理機制是更重要的，也是我們更感興趣的。非線性的物理機制有很多方面，至于哪方面是最根本的，還沒有—致的認識。從非線性的定義來看，可以把非線性的物理機制表述為：一個測度的變化受到兩個、兩種或更多因素的聯合影響，換言之就是非—次項的影響。具體的非線性方式決定于參與聯合作用的因素間聯合作用的方式，如：兩種或多種因素聯合作用，Lorenz吸引子中的X·Z是X與Z的聯合作用;牛頓第二定律F=m·a2中，a2= a·a 是兩個相同的對人有意義的物理變量a與a的聯合作用。下面從相互作用、耗散性、有限性、多值性四個方面具體地討論非線性的物理機制。

　　①相互作用

　　非線性的—個最主要的物理機制，可以說就是相互作用。之所以說世界在本質上是非線性的，在很大程度上就是由于相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是沒有的(即使有，在原則上它的存在本身也就包含了它與認識主體——人的相互作用)。實際上，我們遇到的大都是處于某種相互作用網之中的事物，而任何事物在受其它事物作用、影響的同時，也作用于、影響著其它的事物，正如牛頓第三定律所表述的那樣，作用與反作用是同時存在的，所以，我們要想準確地、深刻地認識一個事物，就要把該系統在其它系統作用下的行為規律與該系統對其它系統的影響聯合起來考慮。這種雙向的作用—般就出現非線性項，成為非線性問題。例如：場對粒子運動有作用，粒子的運動也使場發生變化，這時場方程和粒子運動方程就要聯合起來考察，從而使之成為非線性問題，再如，人與自然、主體與客體都是雙向作用的關系，原則上都將是非線性問題。

　　其實，雙向作用的存在必將使其中之一通過對方而作用于自身，從而形成正的或負的反饋回路，起到放大或抑制的作用，使任何初始變化都會產生不成比例的響應，呈現出非線性現象。

　　②耗散性

　　這里所說的耗散性，是指能推動并維持系統遠離平衡態的耗散性，而不是近平衡區內較弱的耗散性。

　　系統對能量的耗散是一個不可逆過程，輸入系統的能量在流經輸入端和輸出端過程中，驅動系統做某種單向的不可逆的運動，其間會使子系統間產生非線性連接，實現協同運動，從而形成宏觀有序狀態。能量在系統內的耗散，相當于為系統內某些運動按了一個“泵”，這個泵的作用在很多的情況下，就是系統非線性現象的根源。例如：在Bénard實驗中，扮演非線性現象物理機制的正是耗散性，耗散性的不斷加強，使系統達到遠離平衡態，產生規則的宏觀結構以至呈現混沌狀態;與此類似的如：Lorenz吸引子的機制是太陽光加熱大氣，大氣在能量耗散過程中，為耗散性所驅動而產生混沌運動：再如：畫包師變換中，無論是拉伸，還是折疊操作，實際上都是—種能量耗散過程。

　　從另一個角度說，對能量的耗散增強，使子系統相互作用程度增強、方式增多，也就使系統可能有的穩態的數目越來越多，局域穩定性越來越小，直到極端的混沌狀態。在這—過程中，對系統未來的發展軌跡將難以準確預測，即未來現實發展道路的可能性越來越多，簡并程度越來越高，因而可預測性越來越弱。這意味著耗散性導致了系統宏觀運動時間反演對稱性的破缺，也就是說當耗散加強時，原則上從系統現在的狀態無法精確預測其未來的狀態，未來不包含于現在之中，它有“新質”產生。

　　③ 有限性

　　現實的、具體的自然都是有限的自然，有限性及其結果蘊含于一切事物之中，在相應的方面規定著一切事物的性質。我們應該把有限性作為考慮一切事物的基本前提之—，作為自然界的—個基本事實。

　　有限性在一定情況下必然導致非線性，它是非線性的另一個重要機制。抽象地說，有限的事物相對于無限的事物而言喪失了許多對稱性，因而作用于其上的操作及結果都可能對應著由有限性直接導致的非對稱性。具體地，如Robort May用以研究小生境的蟲口模型，其非線性項的存在，就是由于環境容量R的有限造成的，如果R無限大，那么此模型就自然成為線性的了;拉伸機制與有限性造成的壓縮機制的結合，才使奇異吸引子呈現局部不穩定性和整體穩定性，產生特定的非線性形式——混沌;除此之外，各種相互作用速度的有限、時空域的有限、結構方式的有限等等都可成為導致非線性的物理機制。

　　④多值性

　　動力系統中常會出現某些變量的一個值對應著其它變量多個值的情況，從物理上說，就是相同的條件對應著多種可能的狀態，約束條件的弱化使系統狀態的簡并性強化，使可能性非唯—化。多值性的存在，也就自然產生了多值解和對多種可能解的選擇，多值性越強，系統就可能越復雜，相對于一定的多值性系統就會有相應的隨機性。多值性的存在實際上是約束的有限造成的，對于有限約束所不能制約的方面，系統存在于它的一切可能性之中。

　　多值性在動力學方程中必然表現為非線性，因為只有非線性關系才具有多值性，線性關系不可能有多值性。例如：倍周期分叉過程，在分叉點一側出現非唯一穩定軌道，使系統的演化軌跡出現隨機性、復雜性，—方面可以說這里是非線性產生了多值性，另一方面也可以說這里的非線性物理機制正是系統的多值性。再如：哈密頓系統的三體問題，在考慮小質量物體運動時，由于兩個大質量物體造成的引力勢場中，存在引力勢為0的面、點等特殊空時區域(即兩個大質量物體的作用相互抵消的地方)，小質量物體在這些特殊區域的可能軌道就有了多種選擇，即約束的弱化造成了系統可能狀態的多值化。這種多值性在數學上就表現為非線性，它是復雜現象的重要根源之—。

　　(3)非線性與穩定性的關系

　　穩定性問題是我們研究系統動力學性質的一個先驗角度，系統穩定的條件、機制、類型，失穩的條件、機制、類型，及由穩定到不穩定，由不穩定到穩定的—般規律，對于我們理解一般系統和具體系統的動力學行為都是極為重要的。而穩定性與非線性有著密切的關系，簡言之，處于穩定的系統，必然存在非線性的李雅普諾夫函數(Lyapunov function)。

　　所謂穩定性是用來刻劃系統在受到擾動后的行為的，“事物的存在方式或運動狀態，不會因為擾動、起伏漲落而改變就謂之穩定。如果有一個或多個小的擾動，使系統的存在方式或運動狀態發生了改變，而后，系統又能克服擾動自動地回到未受擾動前的狀態，這種系統就是穩定的。”其實，所謂穩定都是相對于—定的擾動而言的，系統的抗擾能力可用穩定程度來標度，穩定程度是我們對系統的穩定性進行區分、刻劃的不可缺少的變量。

　　穩定性有多種類型，我們這里所說的是局域穩定性，即“相對于—定的擾動而言，系統是穩定的”，它包含了兩個方面的意思，①在我們考察的系統狀態附近存在Lyapunov函數， ②環境擾動小于由Lyapunov函數的存在域確定的系統的穩定程度。

　　來源于Lyapunov第一穩定性定理：令，x0是一定點( 。假定存在一個函數使(a) ，且在的某個鄰域內，如果， >0，(b)在那個鄰域內，那么是穩定的。”滿足這兩個條件的函數叫嚴格的Lyapunov函數。由(a)可見，為的極小點，處于穩定狀態的系統，可以找到其Lyapunov函數，此在穩定點附近是凹形的，即不可能有 = 的線性形式，而只能是非線性的。由(b) ，其實就是，保證了沿減小的路徑位移，對于足夠小的擾動將返回x0，的這種性質，反映了系統具有占優勢的維持穩定的機制，這種機制的存在保證了系統對所有小于穩定程度的漲落的有效阻尼。在保守系統中，多數情況下就是能量，一定范圍的凹形，就是具有一定深度的勢阱的勢函數，維持穩定的力則是與函數相應的回復力。

　　總之，無論是線性的，還是非線性的，只要它是穩定的，那么它就對應著某個非線性的Lyapunov函數。

　　如：超循環結構的穩定性來源于子系統間的功能耦合造成的非線性;耗散結構的穩定性源于子系統間的協同相互作用，這種相互作用也是非線性的;倍周期分叉序列及混沌區中的周期窗口，這些軌道的穩定也都是非線性機制產生的;奇異吸引子的整體穩定性是系統的耗散性這一非線性機制的結果。可以說，穩態存在的地方，必然存在非線性。

　　不穩定在數學上對應著勢函數的極大區域，勢函數是凸的，其中包括函數的一階導數等于0，二階導數小于0的極大值點;物理上，勢阱深度小于等于內外漲落的強度。顯然線性關系不會造成這種不穩定性，不穩定機制是一種非線性機制。上文所談及的各種非線性物理機制在一定情況下都將導致不穩定性。

　　造成混沌軌道指數發散的伸縮變換是—種非線性操作，它使系統敏感初條件、極不穩定;在單峰映射中，無淪在倍周期分叉點，還是在混沌區內周期窗口結束時，都是非線性機制使原來的穩定的軌道失穩，而后才進入新的軌道。

　　在耗散結構理論中，系統演化過程中熱力學分枝的失穩、穩定的耗散結構的出現，其機制是子系統間通過相互作用實現的協同運動，而這種相互作用正是非線性的一種重要物理機制。

　　生物體在無外界物質、能量輸入時，它的耗散機制會使其失穩而滑向熱力學平衡態;在保守系統中，隨機網的存在使系統在一定程度上呈現不穩定性。這些起不穩定作用的機制都是我們已討論的非線性機制。

　　綜合以上兩個方面可見，非線性既是穩定的原因，也是不穩定的原因，在不同情況下它扮演不同的角色。非線性同是穩定和不穩定的必要條件，而不是它們的充分條件，系統穩定與否和非線性機制沒有對應關系，系統的穩定或不穩定在不同情況下對應于某些非線性機制或某些非線性機制與其它因素的結合方式。例如：在混沌現象中，非線性機制產生奇異吸引子相空間的局部不穩定性，整體耗散性或有限性等非線性機制造成奇異吸引子的整體穩定性，兩者的結合才產生了具有特定分維的奇異吸引子;在孤立子現象中，非線性項與色散項的巧妙平衡才使滿足KdV方程的孤立子呈現穩定性，成為純粹的擬序結構。所以在考察非線性與穩定性問題時，要依據具體情況做具體分析。
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